Bài 1:             Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.                                             (Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983_1984)             Giải


Ta có SMIC= 1/2 SMCA         (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).            SMIC=SMIB                  (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).         Cho ta:      SAMC=SBMC       (SBMC=SMIC+SMIB).         Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.         Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.         Vậy:                 SAMN=SBMN  Bài 2:             Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?


         Hướng dẫn tìm cách giải Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC.


Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.             Giải


Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK. Ta có SABK = SCBK   (K trung điểm AC)     ==>  SABK = 1/2 SABC Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M. Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.          (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==>  SNOK=SBOM ) Tứ giác ABMN có:   SABMN = SABK + SBOM – SNOK = SABK =   SABC Vậy M chính là điểm cần tìm.

Bài 3:    (Bài giải của thầy Nguyễn Ngọc Phương_B Phú Lâm)             Một miếng vườn trồng cây ăn trái có chiều dài 25m, chiều rộng bằng 3/5 chiều dài. Trong vườn người ta xẻ 2 lối đi có chiều rộng là 1m (như hình vẽ). Tính phần diện tích còn lại để trồng cây?


        Cách 1: Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m)  Chiều dài mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 25 - 1 ) : 2 = 12 (m)  Chiêu rộng mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 15 - 1 ) : 2 = 7 (m)  Diện tích phần còn lại để trồng cây: 12 x 7 x 4 = 336 (mét vuông)          Đáp số : 336 mét vuông          Cách 2: Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m)  Diện tích miếng vườn : 25 x 15 = 375 (mét vuông)  Diện tích lối đi theo chiều dài : 25 x 1 = 25 (mét vuông)  Diện tích lối đi theo chiêu rộng : 15 x 1 - 1 = 14 (mét vuông)  Diện tích phần đất còn lại để trồng cây: 375 - ( 25 + 14 ) = 336 (mét vuông)          Đáp số : 336 mét vuông          Cách 3:
 Giả sử ta dời 2 lối đi ra sát bìa ranh miếng vườn, lúc này lối đi sẽ có hình chữ L (như hình vẽ) và phần đất còn lại là hình chữ nhật trọn vẹn.  Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m)  Chiều rộng phần đất còn lại : 15 - 1 = 14 (m)  Chiều dài phần đất còn lại : 25 - 1 = 24 (m)  Diện tích phần đất còn lại để trồng cây : 24 x 14 = 336 (mét vuông)          Đáp số : 336 mét vuông



 Bài 4          Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.                                                                                 (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh - TTT số 35) 


            Giải         2 tam giác MPN và NPD có phần chung là tam giác NOP